Day 14 — 정규분포의 표준화¶
메타데이터¶
| 항목 | 값 |
|---|---|
| Day | 14 / 14 |
| 학년 타깃 | 고3 |
| 단원 | 확률과 통계 (정규분포) |
| 난이도 | 3등급 cutoff |
| 빈출 유형 | 표준화 → 표 조회 |
| 예상 풀이 시간 | 5분 |
| 발송 일정 | 6/19 (금) 11:00 |
문제 본문¶
확률변수 $X$가 평균 $100$, 표준편차 $15$인 정규분포 $N(100, 15^2)$을 따를 때,
$$P(X \ge 115)$$
의 값은?
(단, $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$, $Z$는 표준정규분포를 따름)
보기
① $0.0228$
② $0.1587$
③ $0.3413$
④ $0.5000$
AI 시드 메시지¶
정규분포 그대로는 $P(X \ge 115)$를 직접 계산하기 어려워. 표를 쓸 수 있는 형태로 바꿔야 하는데, 어떻게 변환할까?
후속 turn 가이드¶
- "표준화 공식 떠올라? $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$"
- "$X = 115$를 $Z$로 변환하면 얼마?"
- "$P(Z \ge 1)$은 정규분포 그래프에서 어디 부분? 전체 면적은 1이라는 걸로 어떻게 활용?"
AI 회피 룰¶
- ❌ "표준화 후 1이 됨" 일방 제시 X
- ✅ 학생이 $Z$값을 본인이 계산하게
사고력 포인트¶
- 표준화: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$
- 대칭성: $P(Z \ge 0) = 0.5$
- 표 활용: $P(Z \ge a) = 0.5 - P(0 \le Z \le a)$
함정 분석¶
| 보기 | 함정 |
|---|---|
| ① $0.0228$ | 표준화 후 $Z = 2$로 잘못 계산 |
| ② $0.1587$ | 정답 |
| ③ $0.3413$ | 주어진 표 값 $0.3413$을 그대로 답으로 적음 (대칭성 활용 누락) |
| ④ $0.5000$ | 중심에서 절반이라 짐작 |
운영자 전용 — 정답 + 풀이¶
⚠️ 학생 노출 금지
정답: ②
풀이: - 표준화: $Z = \dfrac{115 - 100}{15} = 1$ - $P(X \ge 115) = P(Z \ge 1)$ - $P(Z \ge 1) = P(Z \ge 0) - P(0 \le Z \le 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587$