Day 4 — 도함수와 극값¶

메타데이터¶

항목	값
Day	4 / 14
학년 타깃	고2
단원	미분 (다항함수의 미분법)
난이도	3~4등급 cutoff
빈출 유형	도함수 부호 변화 + 극값 위치
예상 풀이 시간	5~7분
발송 일정	6/9 (일) 11:00

문제 본문¶

함수

$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$

가 극값을 가지는 모든 $x$의 값의 합은?

보기

① $0$
② $1$
③ $2$
④ $3$

AI 시드 메시지¶

함수가 "극값을 가진다"는 건 그래프에서 어떻게 보일까? 도함수랑 무슨 관계가 있을까?

후속 turn 가이드¶

"극값을 가지는 곳에서 도함수 $f'(x)$는 어떤 값을 가져?"
"그럼 $f'(x)$를 구해봐. 어떤 식이 나와?"
"$f'(x) = 0$의 해는 몇 개야? 둘 다 진짜 극값인지 어떻게 확인해?"
"근과 계수의 관계 알아? 두 근의 합 구할 때 굳이 다 풀어야 할까?"

AI 회피 규칙¶

❌ $f'(x)$를 직접 미분해주지 않는다.
❌ "근과 계수 써"라고 먼저 말하지 않는다 — 학생이 두 해를 직접 구한 후 합을 묻기 시작하면 그때 hint.
✅ "그래프로 그려보면 어떤 모양일까?" — 시각적 이해 유도

사고력 포인트¶

극값의 정의 → 도함수 = 0: 극값 가지는 곳에서 접선 기울기 0
도함수 부호 변화 확인: $f'(x) = 0$인 점이 모두 극값은 아님 (변곡점일 수도)
근과 계수의 관계: 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근의 합 = $-b/a$

함정 분석¶

보기	함정
① $0$	$f'(0) = 0$만 확인하고 다른 해 누락
② $1$	두 근의 곱 $0 \times 2 = 0$이 아니라 합인데 평균 1로 잘못 답
③ $2$	정답
④ $3$	$x = 0, 3$으로 잘못 계산 (도함수 인수분해 실수)

운영자 전용 — 정답 + 풀이 가이드¶

⚠️ 학생/공개 채널 노출 금지

정답: ③

풀이: - $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ - $f'(x) = 0$ → $x = 0$ 또는 $x = 2$ - 부호 변화 확인: - $x < 0$: $f'(x) > 0$ (증가) - $0 < x < 2$: $f'(x) < 0$ (감소) - $x > 2$: $f'(x) > 0$ (증가) - → $x = 0$에서 극대, $x = 2$에서 극소 — 둘 다 진짜 극값 - 극값 가지는 $x$의 합: $0 + 2 = 2$

대체 풀이 (근과 계수): - $f'(x) = 3x^2 - 6x$ - 두 근의 합 $= -\dfrac{-6}{3} = 2$