Day 11 — 무한급수와 부분분수¶
메타데이터¶
| 항목 | 값 |
|---|---|
| Day | 11 / 14 |
| 학년 타깃 | 고3 |
| 단원 | 미적분 (수열의 극한, 급수) |
| 난이도 | 3등급 cutoff |
| 빈출 유형 | 부분분수 분해 + 망원합 |
| 예상 풀이 시간 | 7분 |
| 발송 일정 | 6/16 (화) 11:00 |
문제 본문¶
무한급수
$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$$
의 값은?
보기
① $\dfrac{1}{2}$
② $1$
③ $2$
④ 발산한다
AI 시드 메시지¶
일반항 $\dfrac{1}{n(n+1)}$ 그대로는 합하기 어렵지. 이걸 더 간단한 형태로 쪼갤 수 없을까?
후속 turn 가이드¶
- "부분분수 분해 들어봤어? $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{A}{n} + \dfrac{B}{n+1}$에서 $A, B$ 어떻게 찾아?"
- "쪼개고 나서 처음 몇 항 직접 적어봐. 뭔가 사라지는 패턴이 보일까?"
- "부분합 $S_N$의 일반형은? $N \to \infty$ 보내면?"
AI 회피 룰¶
- ❌ $\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$ 형태로 직접 답해주지 X
- ✅ 학생이 부분분수 계수 결정 과정을 본인이 수행하게
사고력 포인트¶
- 부분분수 분해 (계수 결정)
- 망원합 (telescoping): 인접 항이 소거되는 패턴
- 부분합 → 극한: 무한급수는 부분합의 극한
함정 분석¶
| 보기 | 함정 |
|---|---|
| ① $\dfrac{1}{2}$ | 첫 항 $\dfrac{1}{1\cdot 2} = \dfrac{1}{2}$만 보고 답으로 단정 |
| ② $1$ | 정답 |
| ③ $2$ | 부분분수 계수를 $\dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{n+1}$로 잘못 |
| ④ 발산 | 조화급수 (1/n)와 혼동 |
운영자 전용 — 정답 + 풀이¶
⚠️ 학생 노출 금지
정답: ②
풀이: - $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$ (부분분수 분해) - 부분합: $$S_N = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1}$$ - $N \to \infty$: $S_N \to 1 - 0 = 1$