Day 3 — 점화식과 등차수열의 합

메타데이터

항목	값
Day	3 / 14
학년 타깃	고2
단원	수열
난이도	3~4등급 cutoff
빈출 유형	점화식 → 일반항 → 합 공식
예상 풀이 시간	6~8분
발송 일정	6/8 (토) 11:00

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문제 본문

수열 ${a_n}$이 $a_1 = 2$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여

$$a_{n+1} = a_n + 3$$

을 만족할 때, $a_1 + a_2 + \cdots + a_{10}$의 값은?

보기

① $145$
② $150$
③ $155$
④ $160$

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AI 시드 메시지

점화식 보면 일단 처음 몇 항부터 직접 적어볼까? $a_1, a_2, a_3$ 어떻게 나와?

후속 turn 가이드

• "$a_1 = 2$, $a_2 = ?$, $a_3 = ?$ 적었어? 그럼 이 수열 어떤 규칙이야?"
• "공차가 보였어? 그럼 이거 등차수열인지 어떻게 확신할 수 있어?"
• "$a_{10}$ 직접 일반항으로 구해볼래?"
• "등차수열 합 공식 기억나? 안 나면 처음 항이랑 끝항으로 어떻게 더할 수 있을까?"

AI 회피 규칙

• ❌ "이건 공차 3인 등차수열이야"라고 단정하지 않는다.
• ✅ 학생이 "공차" 단어를 먼저 꺼낼 때까지 기다린다 — 패턴을 본인이 발견.

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사고력 포인트

1. 점화식 해석 → 수열 종류 식별: $a_{n+1} - a_n = d$ 형태 → 등차수열
2. 일반항 vs 합 공식 분리: $a_n = a_1 + (n-1)d$ → $a_{10}$ 계산 → 합 공식
3. 합 공식 두 가지: $\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ vs $\dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ — 어느 쪽이 빠른가?

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함정 분석

보기	함정
① $145$	합 공식에서 $n = 9$로 잘못 대입 (10이 아닌 9항까지)
② $150$	$a_{10}$을 $2 + 10 \times 3 = 32$로 잘못 계산 (공차 곱하는 횟수 실수) → $(2+32) \times 10 / 2 - 20$ 같은 오답
③ $155$	정답
④ $160$	$a_{10} = 30$으로 잘못 계산 후 $(2+30) \times 10 / 2 = 160$

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운영자 전용 — 정답 + 풀이 가이드

⚠️ 학생/공개 채널 노출 금지

정답: ③

풀이: - 점화식 $a_{n+1} - a_n = 3$ → 공차 $d = 3$인 등차수열 - 일반항: $a_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1$ - $a_{10} = 3 \times 10 - 1 = 29$ - 합 $S_{10} = \dfrac{10 \times (2 + 29)}{2} = \dfrac{10 \times 31}{2} = 155$