Day 5 — 조건부확률 (베이즈)¶

메타데이터¶

항목	값
Day	5 / 14
학년 타깃	고3
단원	확률과 통계
난이도	3등급 cutoff
빈출 유형	사후확률 (베이즈 정리)
예상 풀이 시간	7~10분
발송 일정	6/10 (월) 11:00

문제 본문¶

주머니 $A$에는 빨간 공 $2$개, 파란 공 $3$개가 들어 있고, 주머니 $B$에는 빨간 공 $4$개, 파란 공 $1$개가 들어 있다.

두 주머니 중 하나를 임의로 골라 공 하나를 꺼냈더니 빨간 공이 나왔다. 이때 그 공이 주머니 $B$에서 나왔을 확률은?

보기

① $\dfrac{1}{3}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $\dfrac{2}{3}$
④ $\dfrac{3}{4}$

AI 시드 메시지¶

이 문제 "조건부확률" 같은데, 어떤 사건이 일어난 후 무엇을 묻는지 정리해볼까? 헷갈리면 사건 두 개에 이름부터 붙여보자.

후속 turn 가이드¶

"사건 정의 — 주머니 B 고르는 사건을 $E_1$, 빨간 공 꺼내는 사건을 $E_2$라 하면 우리가 구하는 건 $P(E_1 | E_2)$? 아니면 $P(E_2 | E_1)$?"
"$P(B | 빨강) = \dfrac{P(B \cap 빨강)}{P(빨강)}$ 이걸 분모/분자로 분리해서 각각 어떻게 구할까?"
"$P(빨강)$은 두 주머니 모두에서 빨간 공 나올 가능성을 합쳐야 해. 어떻게?"
"수형도 그려서 가짓수 세는 방법도 있어. 어느 쪽이 너한테 편해?"

AI 회피 규칙¶

❌ 베이즈 정리 공식을 먼저 적어주지 않는다.
❌ $P(B|\text{빨강}) = P(B) \times P(\text{빨강}|B) / P(\text{빨강})$ 형태를 일방적으로 제시 X.
✅ "사건의 순서"를 시각화하도록 유도 — 트리 다이어그램, 표 등.

사고력 포인트¶

사후확률 vs 사전확률 분리: 사건이 일어난 후 다른 사건의 확률 → 조건부확률 → 베이즈
전확률 정리: $P(\text{빨강}) = P(A) P(\text{빨강}|A) + P(B) P(\text{빨강}|B)$
두 가지 풀이 — 수형도 vs 공식: 학생이 어느 쪽이 직관적인지 본인이 선택

함정 분석¶

보기	함정
① $\dfrac{1}{3}$	$P(A \cap \text{빨강})$을 분자로 잘못 대입
② $\dfrac{1}{2}$	"주머니 둘 중 하나니까 1/2" — 조건부확률 자체를 무시 (가장 흔한 답지 함정)
③ $\dfrac{2}{3}$	정답
④ $\dfrac{3}{4}$	$P(\text{빨강}

운영자 전용 — 정답 + 풀이 가이드¶

⚠️ 학생/공개 채널 노출 금지

정답: ③

풀이 (수형도):

시작
├── 주머니 A 선택 (확률 1/2)
│   ├── 빨강 (확률 2/5) → 결합 1/2 × 2/5 = 2/10
│   └── 파랑 (확률 3/5) → 결합 1/2 × 3/5 = 3/10
└── 주머니 B 선택 (확률 1/2)
    ├── 빨강 (확률 4/5) → 결합 1/2 × 4/5 = 4/10
    └── 파랑 (확률 1/5) → 결합 1/2 × 1/5 = 1/10

$P(\text{빨강}) = 2/10 + 4/10 = 6/10$
$P(B \cap \text{빨강}) = 4/10$
$P(B \mid \text{빨강}) = \dfrac{4/10}{6/10} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

풀이 (베이즈 공식): $$P(B \mid \text{빨강}) = \frac{P(B) \cdot P(\text{빨강}|B)}{P(A) P(\text{빨강}|A) + P(B) P(\text{빨강}|B)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = \frac{4/10}{6/10} = \frac{2}{3}$$